Question 1
試證明\[\tanh^{-1} \ \theta=\int_{0}^{\theta}\frac{dx}{1-x^2}\]
Answer
$$ \text{let}\ x=\tanh\ t\newline \Rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{\cosh^2\ t-\sinh^2\ t}{\cosh^2\ t}\ =1-\tanh^2\ t\ =1-x^2\ \frac{dx}{1-x^2}=dt\ $$
$$ \therefore \int\frac{dx}{1-x^2}=t+C\ =\tanh^{-1}\ x+C\ \Rightarrow \int_{0}^{\theta}\frac{dx}{1-x^2}=[\tanh^{-1}\ x]_0^\theta\ =\tanh^{-1}\ \theta $$
Question 2
一個物體質量m，從空中自由落下，且其所受空氣阻力和其速率v的平方成正比。試求該物體下落速度之方程式。
Answer
首先假設阻力\[f=kv^2\] 設速度向上為正 則物體之下落之微分方程可表示為
$$ F=m\frac{dv}{dt}=kv^2-mg $$
（因為是自由落體，因此阻力恆向上）
$$ \frac{dv}{dt}=\frac{k}{m}v^2-g\ \Rightarrow \frac{dv}{\frac{k}{m}v^2-g}=dt $$
令\[u=\sqrt{\frac{k}{mg}}v\] 則
$$ \begin{align*} du&=\sqrt{\frac{k}{mg}}dv \Rightarrow &dv&=\sqrt{\frac{mg}{k}}du\ u^2&=\frac{k}{mg}v^2 \Rightarrow &gu^2&=\frac{k}{m}v^2 \end{align*} $$
因此
$$ \frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}du}{gu^2-g}=dt\ $$
$$ -\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}du}{g-gu^2}=dt\ $$
$$ \sqrt{\frac{m}{kg}}\int \frac{du}{1-u^2}=-\int dt\ \tanh^{-1}u=-\sqrt{\frac{kg}{m}}t+C\ (\because v(0)=0\Rightarrow u(0)=0 \therefore C=0)\ $$
$$ u=\tanh(-\sqrt{\frac{kg}{m}}t+C)\ (\because v(0)=0\Rightarrow u(0)=0 \therefore C=0)\ $$
$$ \therefore v=\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh(-\sqrt{\frac{kg}{m}}t)=-\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh(\sqrt{\frac{kg}{m}}t) $$