最小作用量原理 變分法入門

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Question 1 試證明\[\tanh^{-1} \ \theta=\int_{0}^{\theta}\frac{dx}{1-x^2}\] Answer $$ \text{let}\ x=\tanh\ t\newline \Rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{\cosh^2\ t-\sinh^2\ t}{\cosh^2\ t}\ =1-\tanh^2\ t\ =1-x^2\ \frac{dx}{1-x^2}=dt\ $$ $$ \therefore \int\frac{dx}{1-x^2}=t+C\ =\tanh^{-1}\ x+C\ \Rightarrow \int_{0}^{\theta}\frac{dx}{1-x^2}=[\tanh^{-1}\ x]_0^\theta\ =\tanh^{-1}\ \theta $$ Question 2 一個物體質量m，從空中自由落下，且其所受空氣阻力和其速率v的平方成正比。試求該物體下落速度之方程式。 Answer 首先假設阻力\[f=kv^2\] 設速度向上為正 則物體之下落之微分方程可表示為 $$ F=m\frac{dv}{dt}=kv^2-mg $$ （因為是自由落體，因此阻力恆向上） $$ \frac{dv}{dt}=\frac{k}{m}v^2-g\ \Rightarrow \frac{dv}{\frac{k}{m}v^2-g}=dt $$ 令\[u=\sqrt{\frac{k}{mg}}v\] 則 $$ \begin{align*} du&=\sqrt{\frac{k}{mg}}dv \Rightarrow &dv&=\sqrt{\frac{mg}{k}}du\ u^2&=\frac{k}{mg}v^2 \Rightarrow &gu^2&=\frac{k}{m}v^2 \end{align*} $$ 因此 $$ \frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}du}{gu^2-g}=dt\ $$ $$ -\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}du}{g-gu^2}=dt\ $$ $$ \sqrt{\frac{m}{kg}}\int \frac{du}{1-u^2}=-\int dt\ \tanh^{-1}u=-\sqrt{\frac{kg}{m}}t+C\ (\because v(0)=0\Rightarrow u(0)=0 \therefore C=0)\ $$...

作用量(action)定義 拉格朗日量 $$ L(t,\dot{x},x) =T-V $$ $$ \text{其中 }T \text{ 是動能，}V\text{ 是位能} $$ 作用量 $$ S=\int L(t,\dot{x},x)\ dt $$ 最小作用量原理(The Principle of Least Action) 敘述： 當一個粒子在場中運動時，所經過的軌跡會使得作用量在所有路徑中為最小值。 此敘述等價於 $$ \delta S = 0 $$ 。 可以證明，在只有保守力作用的情況下，最小作用量原理和牛頓第二運動定律是等價的。 證明 $$ \because \delta S = 0 $$ $$ \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0\text{(Euler-Lagrange equation)} $$ $$ -\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=0 $$ $$ -\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{x}}(\frac{1}{2}m\dot{x}^2) $$ $$ -\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{d}{dt}(m\dot{x}) $$ 在僅有保守力作用的情形之下， $$ F=\frac{d}{dt}p $$ 得證。...

Euler-Lagrange equation Question: 假設路徑\[y=f(x)\]，從\[(x_1,f(x_1))\]到\[(x_2,f(x_2))\]，試求\[f(x)\]之微分方程，使\[H(y’,y,x)=\int_{x_1}^{x_2}F(y’,y,x)\ dx\]有最小值。 Answer: p.s. 此非正規證明，僅是一個簡易推導 因為要求\[H\]有最小值，因此對於任意微小偏移量\[\eta(x)\]\[\text{（}\because\text{所有路徑皆必須有相同起始點和終點，}\therefore \eta(x_1)=0\text{且}\eta(x_2)=0 \text{）}\]，\[H{之變化量（稱為}H\text{的變分}\delta H\text{）應為0。}\] $$ \delta H=\int_{x_1}^{x_2}F((y+\eta)’,y+\eta,x)-F(y’,y,x)\ dx\ $$ $$ =\int_{x_1}^{x_2}F(y’+\eta’,y+\eta,x)-F(y’,y,x)\ dx\ $$ $$ =\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y}\eta+\frac{\partial F}{\partial y’}\eta’\ dx\ $$ $$ =\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y}\eta \ dx+[\frac{\partial F}{\partial y’}\eta]_{x_1}^{x_2} $$ $$ -\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y’}\eta\ dx $$ $$ =\int_{x_1}^{x_2}(\frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y’})\eta\ dx $$ \[\because\text{我們要求}y=f(x)\text{使得}H(y’,y,x)\text{有最小值}\] $$ \therefore \forall \eta,\delta H=0\ $$ $$ \Rightarrow \frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y’}=0 $$ 此式稱為歐拉─拉格朗日方程式（Euler-Lagrange equation）。...

原題連結 題目敘述 考試成績出爐了 , 大家開始討論自己的分數高低 一個接著一個參與討論 , 新加入的那個人 , 想要知道自己目前排名是多少 但是太多人了 , 導致沒辦法一時得到他的排名 大家開始請求小光這個答案 , 不過小光非常討厭排名 , 一點都不想幫忙 現在就交給你了 輸入說明 每組輸入的第一行有一個數字 \[N \text{(} 1\leq N\leq 100000 \text{)}\] 代表接下來會有N個人陸續參與討論，接下來會有N行， 代表接下來陸續加入的人的成績\[M\text{，(} 1\leq M\leq N\text{)}\] 而且每個人的成績都不會重複 輸出說明 對於已經知道的成績，請陸續對每個加入的輸出他的排名 解題方法 解法一：線段樹 (這是我第一次刻線段數，刻的不好請見諒) 先建立一棵線段樹儲存成績區間，並設定排名初始值為0。接著依照讀取順序，每讀入一筆數據q，就將線段\[ [1,q] \]的排名值+1，代表排序在他後面的人排名全部往上後1名。接著查詢範圍\[ [q,q] \]，結果就是當時的排名。 圖解（使用範例測資） 設定 讀入第一筆數據(1) 讀入第二筆數據(5) 以此類推 AC Code #include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <iomanip> #include <vector> #include <stack> #include <queue> #include <map> using namespace std; #define int long long #define ld long double #ifdef ONLINE_JUDGE #define settings() ios::sync_with_stdio(0);cin....