作用量(action)定義
- 拉格朗日量 $$ L(t,\dot{x},x) =T-V $$ $$ \text{其中 }T \text{ 是動能，}V\text{ 是位能} $$
- 作用量 $$ S=\int L(t,\dot{x},x)\ dt $$
最小作用量原理(The Principle of Least Action)
敘述：
當一個粒子在場中運動時，所經過的軌跡會使得作用量在所有路徑中為最小值。
此敘述等價於
$$ \delta S = 0 $$
。
可以證明，在只有保守力作用的情況下，最小作用量原理和牛頓第二運動定律是等價的。
證明
$$ \because \delta S = 0 $$
$$ \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0\text{(Euler-Lagrange equation)} $$ $$ -\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=0 $$ $$ -\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{x}}(\frac{1}{2}m\dot{x}^2) $$ $$ -\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{d}{dt}(m\dot{x}) $$ 在僅有保守力作用的情形之下， $$ F=\frac{d}{dt}p $$ 得證。
（關於歐拉──拉格朗日方程式，請見我的這篇文章 )